Low-, High- und Bandpass Filter bieten im Preprocessing Möglichkeiten, bestimmte Frequenzbereiche aus einem Signal zu entfernen. Grundlage hierfür ist das Nyquist-Shannon-Abtasttheorem. Dieses besagt, dass ein Signal mit einer maximalen Frequenz fmax genau dann exakt aus einzelnen Werten rekonstruiert werden kann, wenn diese mit einer Frequenz größer als 2 * fmax abgetastet werden. Vereinfacht gesagt: Ein jedes Signal, sei es jetzt ein Audiosignal von einem Mikrofon oder die Daten von einem Beschleunigungssensor, kann durch eine Multiplikation von Sinuswellen dargestellt werden. Angenommen, das Signal hat eine maximale Frequenz von 100 Hz. Wenn wir dieses Signal jetzt mit mehr als 200 Hz Abtasten, also mehr als 200 mal pro Sekunden eine Momentaufnahme von dem Signal machen, können wir es exakt rekonstruieren. Dadurch, dass wir unser Signal exakt rekonstruieren können, können wir es auch in seine Bestandteile zerlegen, umbauen und wieder neu konstruieren.
Anwendungsbeispiel #
Angenommen wir haben das rote Signal aus der Abbildung aufgenommen. Dieses Signal besteht aus einem niederfrequenten Signal (blau) und einem höherfrequenten Signal (gelb). Für uns ist jedoch nur das höherfrequente Signal interessant. In unseren Fall ist das recht einfach, dass höherfrequente Signal zu extrahieren: wir ziehen das niederfrequente Signal vom gesamten Signal ab und erhalten unser gewünschtes Signal. Dies geht jedoch auch mit komplexeren Signal.
Arten von Filtern #
Aber was haben denn jetzt die Filter damit zu tun? Diese Filter ermöglichen es, einen Teil des ursprünglichen Roh-Signals herauszufiltern. Wie im Beispiel von oben ist man damit in der Lage, die Frequenzen zu filtern und nur einen Teil des Signals zu erhalten. Dabei gibt es die folgenden Arten von Filtern:
| Filter | Beschreibung |
|---|---|
| Lowpass-Filter | Ein Lowpass-Filter ist ein Filter, der die Teile des Signals, die unterhalb seiner Cutoff-Frequenz liegen, nahezu unverändert durchlässt, und die Frequenz-Teile, die oberhalb seiner Cutoff-Frequenz liegen, stark bis vollständig dämpft. Um unser Beispiel aus Abb. 1 aufzugreifen: mit einem Lowpass-Filter könnten wir uns das blaue Signal herausfiltern, sodass das gelbe Signal quasi “verschwunden” ist. |
| Highpass-Filter | Ein Highpass-Filter ist das Gegenstück zum Lowpass-Filter. Er lässt die Frequenz-Teile, die oberhalb seiner Cutoff-Frequenz liegen, nahezu ungehindert durch, und die Frequenzanteile unterhalb der Cutoff-Frequenz werden stark bis vollständig gedämpft. Im obigen Beispiel könnten wir uns das gelbe Signal herausfiltern und dabei das blaue Signal quasi vollständig verwerfen. |
| Bandpass-Filter | Der Bandpass-Filter ist eine Kombination aus Lowpass- und Highpass-Filter. Dabei muss die Cutoff-Frequenz vom Lowpass-Filter wesentlich höher sein als die Cutoff-Frequenz vom Highpass-Filter. Daraus resultiert, dass alle Signalanteile zwischen den Cutoff-Frequenzen quasi ungehindert durchgelassen werden und alle Signalanteile außerhalb deren stark bis vollständig gedämpft werden. Das Gegenstück dazu wäre der Bandstop-Filter, der platt gesagt alle Frequenzen zwischen den zwei Cutoffs blockiert, und alles außerhalb durchlässt. |
Wirkung von Filtern #
Nun ist es so, dass kein Filter perfekt ist. Ein idealer Lowpass-Filter mit einer Cutoff-Frequenz von 10 Hz würde alle Signalanteile unterhalb von 10 Hz vollständig ungehindert durchlassen, und alle Signalanteile oberhalb von 10 Hz vollständig verwerfen. Da es keine idealen Filter gibt, verschafft man sich anders Abhilfe. Der Butterworth-Filter ist so designed, dass die Signalanteile an der Cutoff-Frequenz noch mit -3 dB vorhanden sind und nach oben hin stark abfallen (Lowpass-Filter). Mit einen größeren Ordnung des Filters kann hier eine steilere Kurve erreicht werden.
Ein Butterworth-Bandpass-Filter wurde auch beim Projekt Untergrunderkennung bei Fahrradfahren eingesetzt, sodass die Tretbewegung aus dem Roh-Signal mehr oder weniger vollständig aus den Daten herausgefiltert wird.
Zusammenfassend kann man sagen, dass mit Low-, High- und Bandpass-Filtern ungewollte Bestandteile eines Signals entfernt und somit sauberere Daten erhalten werden können.
Weiterführende Links:
Shannon 1949: Communication in the Presence of Noise: https://www.cs.miami.edu/home/burt/learning/Csc524.092/docs/shannonpaper.pdf
Butterworth-Filter: https://tttapa.github.io/Pages/Mathematics/Systems-and-Control-Theory/Analog-Filters/Butterworth-Filters.html
Butterworth-Filter (Scipy): https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.signal.butter.html sowie https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.signal.sosfilt.html
